最小生成樹---Priml算法

1 、Prim算法思想

  思想：首先找到權值最小的一條邊，由這兩個頂點出發，分別去找權值最小的(不能有環的出現)；由各個頂點，每次都找權值最小的。

  連貫的做法：從頂點的連續角度出發，每次從相應頂點出發，到權值最小的邊進行連接。

模型如下：

2、Prim算法實現

  lowCost[i]：表示以i為終點的邊的最小權值，當lowCost[i] = 0；說明以i為終點的邊的最小權值=0；也就是表示i點加入了mst數組；

  mst[i]：表示對應lowCost[i]的起點，即說明邊<mst[i], i>是mst的一條邊；

  每次進行一次比較，都要隨之更改其lowCost和mst數組；

  每并入一個頂點，都更改為0，并且修改相應的記錄；都會從內部挑選最小的權值，直到最后所有的lowCost[i] = 0;

    均由C++實現(鄰接矩陣實現)：

template<typename Type, typename E>
void GraphMtx<Type, E>::MinSpanTree_Prim(const Type &v){
    int n = Graph<Type, E>::getCurVertex();
    int *lowCost = new int[n];  //這兩個數組是至關重要的 
    int *mst = new int[n];

    int k = getVertexIndex(v);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(i != k){
            lowCost[i] = edge[k][i];  //i:表示最終頂點，lowCost[i]:表示起始到最終頂點的權值；
            mst[i] = k;  //起始頂點
        }else{
            lowCost[i] = 0;
        }
    }

    int min;
    int minIndex;
    int begin;
    int end;

    for(i = 0; i < n-1; i++){
        min = MAX_COST;
        minIndex = -1;

        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(lowCost[j] != 0 && lowCost[j] < min){
                min = lowCost[j];  //最小權值
                minIndex = j;  //終點
            }
        }
        begin = mst[minIndex];  //起點
        end = minIndex;  //終點
        printf("%c-->%c : %d\n", getValue(begin), getValue(end), min);

        lowCost[minIndex] = 0; //賦為0并入mst集合

        int cost;
        for(j = 0; j < n; j++){  //每次都重新更改lowCost和mst數組；
            cost = edge[minIndex][j];
            if(cost < lowCost[j]){
                lowCost[j] = cost;
                mst[j] = minIndex;
            }
        }
        
    }
}

3、完整代碼、測試代碼、測試結果

  (1)、完整代碼

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;

#define VERTEX_DEFAULT_SIZE        10
#define MAX_COST                0x7FFFFFFF

template<typename Type, typename E>    
class Graph{
public:
    bool isEmpty()const{
        return curVertices == 0;
    }
    bool isFull()const{
        if(curVertices >= maxVertices || curEdges >= curVertices*(curVertices-1)/2)
            return true;  //圖滿有2種情況：(1)、當前頂點數超過了最大頂點數，存放頂點的空間已滿
        return false;     //(2)、當前頂點數并沒有滿，但是當前頂點所能達到的邊數已滿
    }
    int getCurVertex()const{
        return curVertices;
    }
    int getCurEdge()const{
        return curEdges;
    }
public:
    virtual bool insertVertex(const Type &v) = 0;  //插入頂點
    virtual bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2, E cost) = 0; //插入邊
    virtual bool removeVertex(const Type &v) = 0;  //刪除頂點
    virtual bool removeEdge(const Type &v1, const Type &v2) = 0; //刪除邊
    virtual int getFirstNeighbor(const Type &v) = 0; //得到第一個相鄰頂點
    virtual int getNextNeighbor(const Type &v, const Type &w) = 0; //得到下一個相鄰頂點
public:
    virtual int getVertexIndex(const Type &v)const = 0; //得到頂點下標
    virtual void showGraph()const = 0;  //顯示圖
    virtual Type getValue(int index)const = 0; 
public:
    virtual void DFS(const Type &v) = 0;
    virtual void BFS(const Type &v) = 0;
protected:
    int maxVertices;  //最大頂點數
    int curVertices;  //當前頂點數
    int curEdges;  //當前邊數
};

template<typename Type, typename E>
class GraphMtx : public Graph<Type, E>{ //鄰接矩陣繼承父類矩陣
#define maxVertices  Graph<Type, E>::maxVertices  //因為是模板，所以用父類的數據或方法都得加上作用域限定符
#define curVertices  Graph<Type, E>::curVertices
#define curEdges     Graph<Type, E>::curEdges
public:
    GraphMtx(int vertexSize = VERTEX_DEFAULT_SIZE){  //初始化鄰接矩陣
        maxVertices = vertexSize > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? vertexSize : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申請頂點空間
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化為0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申請邊的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申請列空間
            edge[i] = new int[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //賦初值為0 
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                if(i != j){
                    edge[i][j] = MAX_COST; //初始化時都賦為到其它邊要花的代價為無窮大。
                }else{
                    edge[i][j] = 0;  //初始化時自己到自己認為花費為0
                }
            }
        }
        curVertices = curEdges = 0; //當前頂點和當前邊數
    }
    GraphMtx(Type (*mt)[4], int sz){  //通過已有矩陣的初始化
        int e = 0; //統計邊數
        maxVertices = sz > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? sz : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申請頂點空間
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化為0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申請邊的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申請列空間
            edge[i] = new Type[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //賦初值為矩陣當中的值
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                edge[i][j] = mt[i][j];
                if(edge[i][j] != 0){
                    e++; //統計列的邊數
                }
            }
        }
        curVertices = sz;
        curEdges = e/2;
    }
    ~GraphMtx(){}
public:
    bool insertVertex(const Type &v){
        if(curVertices >= maxVertices){
            return false;
        }
        vertexList[curVertices++] = v;
        return true;
    }
    bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2, E cost){
        int maxEdges = curVertices*(curVertices-1)/2;
        if(curEdges >= maxEdges){
            return false;
        }

        int v = getVertexIndex(v1);
        int w = getVertexIndex(v2);

        if(v==-1 || w==-1){
            cout<<"edge no exit"<<endl; //要插入的頂點不存在，無法插入
            return false;
        }
        if(edge[v][w] != MAX_COST){  //當前邊已經存在，不能進行插入
            return false;
        }

        edge[v][w] = edge[w][v] = cost; //因為是無向圖，對稱, 權值賦為cost；
        return true; 
    }  //刪除頂點的高效方法
    bool removeVertex(const Type &v){
        int i = getVertexIndex(v);
        if(i == -1){
            return false;
        }
        vertexList[i] = vertexList[curVertices-1];
        int edgeCount = 0;
        for(int k = 0; k < curVertices; k++){
            if(edge[i][k] != 0){  //統計刪除那行的邊數
                edgeCount++;
            }
        }
        //刪除行
        for(int j = 0; j < curVertices; j++){
            edge[i][j] = edge[curVertices-1][j];
        }
        //刪除列
        for(j = 0; j < curVertices; j++){
            edge[j][i] = edge[j][curVertices-1];
        }
        curVertices--;
        curEdges -= edgeCount;
        return true;
    }
/*  //刪除頂點用的是數組一個一個移動的方法，效率太低。
    bool removeVertex(const Type &v){
        int i = getVertexIndex(v);
        if(i == -1){
            return false;
        }
        for(int k = i; k < curVertices-1; ++k){
            vertexList[k] = vertexList[k+1];
        }

        int edgeCount = 0;
        for(int j = 0; j < curVertices; ++j){
            if(edge[i][j] != 0)
                edgeCount++;
        }

        for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
        {
            for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
            {
                edge[k][j] = edge[k+1][j];
            }
        }

        for(int k = i; k < curVertices-1; ++k)
        {
            for(int j = 0; j < curVertices; ++j)
            {
                edge[j][k] = edge[j][k+1];
            }
        }

        curVertices--;
        curEdges -= edgeCount;

        return true;
    }        
*/
    bool removeEdge(const Type &v1, const Type &v2){
        int v = getVertexIndex(v1);
        int w = getVertexIndex(v2);

        if(v==-1 || w==-1){  //判斷要刪除的邊是否在當前頂點內
            return false;  //頂點不存在
        }
        if(edge[v][w] == 0){ //這個邊根本不存在，沒有必要刪
            return false;
        }
        edge[v][w] = edge[w][v] = 0; //刪除這個邊賦值為0，代表不存在；
        curEdges--;

        return true;
    }
    int getFirstNeighbor(const Type &v){
        int i = getVertexIndex(v);
        if(i == -1){
            return -1;
        }
        for(int col = 0; col < curVertices; col++){
            if(edge[i][col] != 0){
                return col;
            }
        }
        return -1;
    }
    int getNextNeighbor(const Type &v, const Type &w){
        int i = getVertexIndex(v);
        int j = getVertexIndex(w);

        if(i==-1 || j==-1){
            return -1;
        }
        for(int col = j+1; col < curVertices; col++){
            if(edge[i][col] != 0){
                return col;
            }
        }

        return -1;
    }
public:
    void showGraph()const{
        if(curVertices == 0){
            cout<<"Nul Graph"<<endl;
            return;
        }

        for(int i = 0; i < curVertices; i++){
            cout<<vertexList[i]<<"  "; 
        }
        cout<<endl;
        for(i = 0; i < curVertices; i++){
            for(int j = 0; j < curVertices; j++){
                if(edge[i][j] != MAX_COST){
                    cout<<edge[i][j]<<"  ";
                }else{
                    cout<<"@  ";
                }
            }
            cout<<vertexList[i]<<endl;
        }
    }
    int getVertexIndex(const Type &v)const{
        for(int i = 0; i < curVertices; i++){
            if(vertexList[i] == v){
                return i;
            }
        }

        return -1;
    }
public:
    Type getValue(int index)const{
        return vertexList[index];
    }
    void DFS(const Type &v){
        int n = Graph<Type, E>::getCurVertex();
        bool *visit = new bool[n];

        for(int i = 0; i < n; i++){
            visit[i] = false;
        }
        DFS(v, visit);
        delete []visit;
    }
    void BFS(const Type &v){
        int n = Graph<Type, E>::getCurVertex();
        bool *visit = new bool[n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            visit[i] = false;
        }
        cout<<v<<"-->";
        int index = getVertexIndex(v);
        visit[index] = true;

        queue<int> q;  //隊列中存放的是頂點下標;
        q.push(index);
        int w;
        while(!q.empty()){
            index = q.front();
            q.pop();
            w = getFirstNeighbor(getValue(index));
            while(w != -1){
                if(!visit[w]){
                    cout<<getValue(w)<<"-->";
                    visit[w] = true; 
                    q.push(w);
                }
                
                w = getNextNeighbor(getValue(index), getValue(w));
                
            }
        }

        delete []visit;
    }
public:
    void MinSpanTree_Kruskal();
    void MinSpanTree_Prim(const Type &v);
protected:
    void DFS(const Type &v, bool *visit){
        cout<<v<<"-->";
        int index = getVertexIndex(v);
        visit[index] = true;
        int w = getFirstNeighbor(v);
        while(w != -1){
            if(!visit[w]){
                DFS(getValue(w), visit);
            }
            w = getNextNeighbor(v, getValue(w)); 
        }
    }
private:
    Type *vertexList;  //存放頂點的數組
    int **edge;  //存放邊關系的矩陣
};
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef struct MstEdge{
    int x;  //row
    int y;  //col
    int cost;
}MstEdge;

int cmp(const void *a, const void *b){
    return (*(MstEdge*)a).cost - (*(MstEdge*)b).cost;
}

bool isSame(int *father, int i, int j){
    while(father[i] != i){
        i = father[i];
    }
    while(father[j] != j){
        j = father[j];
    }

    return i == j;
}
void markSame(int *father, int i, int j){
    while(father[i] != i){
        i = father[i];
    }
    while(father[j] != j){
        j = father[j];
    }

    father[j] = i;
}

template<typename Type, typename E>
void GraphMtx<Type, E>::MinSpanTree_Kruskal(){ 
    int n = Graph<Type, E>::getCurVertex();  //由于要用到父類的保護數據或方法，有模板的存在，必須加上作用域限定符;
    MstEdge *edge1 = new MstEdge[n*(n-1)/2];
    int k = 0;

    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = i+1; j < n; j++){
            if(edge[i][j] != MAX_COST){
                edge1[k].x = i;
                edge1[k].y = j;
                edge1[k].cost = edge[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    qsort(edge1, k, sizeof(MstEdge), cmp);

    int *father = new int[n];
    Type v1, v2;
    for(i = 0; i < n; i++){
        father[i] = i;
    }
    for(i = 0; i < n; i++){
        if(!isSame(father, edge1[i].x, edge1[i].y)){
            v1 = getValue(edge1[i].x);
            v2 = getValue(edge1[i].y);
            printf("%c-->%c : %d\n", v1, v2, edge1[i].cost);
            markSame(father, edge1[i].x, edge1[i].y);
        }
    }
}
template<typename Type, typename E>
void GraphMtx<Type, E>::MinSpanTree_Prim(const Type &v){
    int n = Graph<Type, E>::getCurVertex();
    int *lowCost = new int[n];
    int *mst = new int[n];

    int k = getVertexIndex(v);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(i != k){
            lowCost[i] = edge[k][i];
            mst[i] = k;
        }else{
            lowCost[i] = 0;
        }
    }

    int min;
    int minIndex;
    int begin;
    int end;

    for(i = 0; i < n-1; i++){
        min = MAX_COST;
        minIndex = -1;

        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(lowCost[j] != 0 && lowCost[j] < min){
                min = lowCost[j];
                minIndex = j;
            }
        }
        begin = mst[minIndex];
        end = minIndex;
        printf("%c-->%c : %d\n", getValue(begin), getValue(end), min);

        lowCost[minIndex] = 0;

        int cost;
        for(j = 0; j < n; j++){
            cost = edge[minIndex][j];
            if(cost < lowCost[j]){
                lowCost[j] = cost;
                mst[j] = minIndex;
            }
        }
        
    }
}

#endif

  (2)、測試代碼

#include"Graph2.h"

int main(void){
    GraphMtx<char,int> gm;
    gm.insertVertex('A'); //0
    gm.insertVertex('B'); //1
    gm.insertVertex('C'); //2
    gm.insertVertex('D'); //3
    gm.insertVertex('E'); //4
    gm.insertVertex('F'); //5

    gm.insertEdge('A','B',6);
    gm.insertEdge('A','C',1);
    gm.insertEdge('A','D',5);
    gm.insertEdge('B','C',5);
    gm.insertEdge('B','E',3);
    gm.insertEdge('C','E',6);
    gm.insertEdge('C','D',5);
    gm.insertEdge('C','F',4);
    gm.insertEdge('D','F',2);
    gm.insertEdge('E','F',6);

    gm.showGraph();
    gm.MinSpanTree_Kruskal();
    cout<<"---------------------------------------------------------"<<endl;
    gm.MinSpanTree_Prim('A');

    return 0;
 
}

  (3)、測試結果

測試圖模型：