python中伯努利分布的示例分析

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伯努利分布 是一種離散分布,有兩種可能的結果。1表示成功，出現的概率為p(其中0<p<1)。0表示失敗，出現的概率為q=1-p。這種分布在人工智能里很有用，比如你問機器今天某飛機是否起飛了，它的回復就是Yes或No，非常明確，這個分布在分類算法里使用比較多，因此在這里先學習 一下。

概率分布有兩種類型：離散（discrete）概率分布和連續（continuous）概率分布。

離散概率分布也稱為概率質量函數（probability mass function）。離散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二項分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和幾何分布（geometric distribution）等。

連續概率分布也稱為概率密度函數（probability density function），它們是具有連續取值（例如一條實線上的值）的函數。正態分布（normal distribution）、指數分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都屬于連續概率分布。

from scipy.stats import binom #導入伯努利分布
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#次數
n = 10
#概率
p = 0.3
#導入特征系數
k = np.arange(0, 21)
#伯努利分布的特征值導入
binomial = binom.pmf(k, n, p)
plt.plot(k, binomial, 'o-')
plt.title('Binomial: n = %i, p=%0.2f' % (n, p), fontsize=15)
plt.xlabel('Number of successes')
plt.ylabel('Probability of sucesses', fontsize=15)
plt.savefig(r'C:\Users\Administrator\Desktop\106\data\textdata\12.png')
plt.show()

二項分布：離散型概率分布，n 重伯努利分布

如果隨機變量序列 Xn(n=1, 2, …) 中的隨機變量均服從與參數為 p 的伯努利分布，那么隨機變量序列 Xn 就形成了參數為 p 的 n 重伯努利試驗。例如，假定重復拋擲一枚均勻硬幣 n 次，如果在第 i 次拋擲中出現正面，令 Xi=1；如果出現反面，則令 Xi=0。那么，隨機變量 Xn(n=1, 2, …) 就形成了參數為 1/2 的 n 重伯努利試驗。

可見，n 重伯努利試驗需滿足下列條件：

每次試驗只有兩種結果，即 X=1，或 X=0

各次試驗中的事件互相獨立，且 X=1 和 X=0 的概率分別為 p(0<p<1) 和 q=1-p

n 重伯努利試驗的結果就是 n 重伯努利分布，即二項分布。反之，當 Xn(n=1) 時，二項分布的結果服從于伯努利分布。因為二項分布實際上是進行了 n 次的伯努利分布，所以二項分布的離散型隨機變量期望為 E(x)=np，方差為 D(x)=np(1-p) 。

需要注意的是，滿足二項分布的樣本空間有一個非常重要的性質，假設進行 n 次獨立試驗，滿足二項分布（每次試驗成功的概率為 p，失敗的概率為 1?p），那么成功的次數 X 就是一個參數為 n 和 p 的二項隨機變量，即滿足下述公式：

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

X=k，試驗 n 次，成功的次數恰好有 k 次的隨機變量（事件）

C(n, k)，表示從集合 n 中取出 k 個元素的組合數，結果為 n!/(k!*(n-k)!)

例如，小明參加雅思考試，每次考試的通過率 1/3，不通過率為 q=2/3。如果小明連續參加考試 4 次，那么恰好有兩次通過的概率是多少？

解析：因為每次考試只有兩種結果，通過或不通過，符合條件 (1)；每次考試結果互相獨立，且概率不變，符合條件 (2)。滿足二項分布樣本，代入公式求解得概率為：C(4, 2)*(1/2)^2*(2/3)^(4-2) ≈ 8/27

二項分布概率直方圖：

圖形特性：

當 p=q 時，圖形是對稱的

當 p≠q 時，圖形呈偏態，p<q 與 p>q 的偏斜方向相反

當 (n+1)p 不為整數時，二項概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 時達到最大值

當 (n+1)p 為整數時，二項概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 和 k=(n+1)*p-1 時達到最大值

NOTE：當 n 很大時，即使 p≠q，二項分布概率直方圖的偏態也會逐漸降低，最終成為正態分布。也就是說，二項分布的極限情形即為正態分布，故當 n 很大時，二項分布的概率可用正態分布的概率作為近似值。那么 n 需要多大才可謂之大呢?

一般規定，當 p<q 且 np≥5，或 p>q 且 nq≥5 時，這時的 n 就足夠大了，可以用正態分布的概率作為近似值。則正態分布參數 μ=np，σ^2=np(1-p) 。

二項分布:

from scipy.stats import binom 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
fig,ax = plt.subplots(1,1)
n = 100
p = 0.5
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt=binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print(mean,var,skew,kurt)
#ppf:累積分布函數的反函數。q=0.01時，ppf就是p(X<x)=0.01時的x值。
x=np.arange(binom.ppf(0.01,n,p),binom.ppf(0.99,n,p))
ax.plot(x,binom.pmf(x,n,p),'o')
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.title(u'二項分布概率質量函數')
plt.savefig(r'C:\Users\Administrator\Desktop\106\data\textdata\1.png')
plt.show()

補充拓展：python--scipy--1離散概率分布:伯努利分布

#導入包
#數組包
import numpy as np
#繪圖包
import matplotlib.pyplot as plt
#統計計算包的統計模塊
from scipy import stats
'''
arange用于生成一個等差數組，arange([start, ]stop, [step, ]
使用見文檔：https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.arange.html
'''

'''
第1步，定義隨機變量：1次拋硬幣
成功指正面朝上記錄為1，失敗指反面朝上記錄為0
'''
X = np.arange(0, 2,1)
X

array([0, 1])

'''
伯努利分布官方使用文檔：
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.bernoulli.html#scipy.stats.bernoulli
'''
#第2步，#求對應分布的概率:概率質量函數 (PMF)
#它返回一個列表，列表中每個元素表示隨機變量中對應值的概率
p = 0.5 # 硬幣朝上的概率
pList = stats.bernoulli.pmf(X, p)
pList

array([0.5, 0.5])

#第3步，繪圖
'''
plot默認繪制折線，這里我們只繪制點，所以傳入下面的參數：
marker：點的形狀，值o表示點為圓圈標記（circle marker）
linestyle：線條的形狀，值None表示不顯示連接各個點的折線
'''
plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None')
'''
vlines用于繪制豎直線(vertical lines),
參數說明：vline(x坐標值, y坐標最小值, y坐標值最大值)
我們傳入的X是一個數組，是給數組中的每個x坐標值繪制豎直線，
豎直線y坐標最小值是0，y坐標值最大值是對應pList中的值
官網文檔：https://matplotlib.org/api/pyplot_api.html#matplotlib.pyplot.vlines
'''
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] 
plt.vlines(X, 0, pList)
#x軸文本
plt.xlabel('隨機變量：拋硬幣1次')
#y軸文本
plt.ylabel('概率')
#標題
plt.title('伯努利分布：p=%.2f' % p)
#顯示圖形
plt.show()

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