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二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（Left Subtree）和“右子樹”（Right Subtree）。二叉樹常被用于實現二叉查找樹和二叉堆。
二叉樹有如下特性：
每個結點都包含一個元素以及 n 個子樹，這里 0≤n≤2。?
光看概念有點枯燥，假設我們現在有這樣一組數[35 27 48 12 29 38 55]，順序的插入到一個數的結構中，步驟如下 ：
好了，這就是一棵二叉樹啦！我們能看到，經過一系列的插入操作之后，原本無序的一組數已經變成一個有序的結構了，并且這個樹滿足了上面提到的兩個二叉樹的特性！
但是如果同樣是上面那一組數，我們自己升序排列后再插入，也就是說按照[12 27 29 35 38 48 55]的順序插入，會怎么樣呢？
由于是升序插入，新插入的數據總是比已存在的結點數據都要大，所以每次都會往結點的右邊插入，最終導致這棵樹嚴重偏科！
上圖就是最壞的情況，也就是一棵樹退化為一個線性鏈表了，這樣查找效率自然就低了，完全沒有發揮樹的優勢了呢！?
為了較大發揮二叉樹的查找效率，讓二叉樹不再偏科，保持各科平衡，所以有了平衡二叉樹！
平衡二叉樹是一種特殊的二叉樹，所以他也滿足前面說到的二叉樹的兩個特性，同時還有一個特性：它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。
大家也看到了前面[35 27 48 12 29 38 55]插入完成后的圖，其實就已經是一棵平衡二叉樹啦。
那如果按照[12 27 29 35 38 48 55]的順序插入一棵平衡二叉樹，會怎么樣呢？
我們看看插入以及平衡的過程：
這棵樹始終滿足平衡二叉樹的幾個特性而保持平衡！這樣我們的樹也不會退化為線性鏈表了！
我們需要查找一個數的時候就能沿著樹根一直往下找，這樣的查找效率和二分法查找是一樣的呢！
一棵平衡二叉樹能容納多少的結點呢？這跟樹的高度是有關系的，假設樹的高度為 h，那每一層最多容納的結點數量為 2^(n-1)，整棵樹最多容納節點數為 2^0+2^1+2^2+...+2^(h-1)。
這樣計算，100w 數據樹的高度大概在 20 左右，也就是說從有著 100w 條數據的平衡二叉樹中找一個數據，最壞的情況下需要 20 次查找。
如果是內存操作，效率也是很高的！但是我們數據庫中的數據基本都是放在磁盤中的，每讀取一個二叉樹的結點就是一次磁盤 IO，這樣我們找一條數據如果要經過 20?次磁盤的 IO？
那性能就成了一個很大的問題了！那我們是不是可以把這棵樹壓縮一下，讓每一層能夠容納更多的節點呢？雖然我矮，但是我胖啊...
這顆矮胖的樹就是 B-Tree，注意中間是杠精的杠而不是減，所以也不要讀成 B 減 Tree 了~
那 B-Tree 有哪些特性呢？一棵 m 階的 B-Tree 有如下特性：
每個結點最多 m 個子結點。?
除了根結點和葉子結點外，每個結點最少有 m/2（向上取整）個子結點。?
如果根結點不是葉子結點，那根結點至少包含兩個子結點。?
所有的葉子結點都位于同一層。?
每個結點都包含 k 個元素（關鍵字），這里 m/2≤k。
每個節點中的元素（關鍵字）從小到大排列。?
是不是感覺跟丈母娘張口問你要彩禮一樣，列一堆的條件，而且每一條都讓你很懵逼！
下面我們以一個[0,1,2,3,4,5,6,7]的數組插入一棵 3 階的 B-Tree 為例，將所有的條件都串起來，你就明白了！
那么，你是否對 B-Tree 的幾點特性都清晰了呢？在二叉樹中，每個結點只有一個元素。
但是在 B-Tree 中，每個結點都可能包含多個元素，并且非葉子結點在元素的左右都有指向子結點的指針。
如果需要查找一個元素，那流程是怎么樣的呢？我們看下圖，如果我們要在下面的 B-Tree 中找到關鍵字 24，那流程如下：
從這個流程我們能看出，B-Tree 的查詢效率好像也并不比平衡二叉樹高。但是查詢所經過的結點數量要少很多，也就意味著要少很多次的磁盤 IO，這對性能的提升是很大的。
從前面對 B-Tree 操作的圖，我們能看出來，元素就是類似 1、2、3 這樣的數值。
但是數據庫的數據都是一條條的數據，如果某個數據庫以 B-Tree 的數據結構存儲數據，那數據怎么存放的呢？
我們看下一張圖：
普通的 B-Tree 的結點中，元素就是一個個的數字。但是上圖中，我們把元素部分拆分成了 key-data 的形式，Key 就是數據的主鍵，Data 就是具體的數據。
這樣我們在找一條數的時候，就沿著根結點往下找就 OK 了，效率是比較高的。
B+Tree 是在 B-Tree 基礎上的一種優化，使其更適合實現外存儲索引結構。
B+Tree 與 B-Tree 的結構很像，但是也有幾個自己的特性：
所有的非葉子節點只存儲關鍵字信息。?
所有衛星數據（具體數據）都存在葉子結點中。?
所有的葉子結點中包含了全部元素的信息。?
如果上面 B-Tree 的圖變成 B+Tree，那應該如下：?
大家仔細對比于 B-Tree 的圖能發現什么不同？
非葉子結點上已經只有 Key 信息了，滿足上面第 1 點特性！?
所有葉子結點下面都有一個 Data 區域，滿足上面第 2 點特性！?
非葉子結點的數據在葉子結點上都能找到，如根結點的元素 4、8 在最底層的葉子結點上也能找到，滿足上面第 3 點特性！?
在講這兩種數據結構在數據庫中的選擇之前，我們還需要了解的一個知識點是操作系統從磁盤讀取數據到內存是以磁盤塊（Block）為基本單位的，位于同一個磁盤塊中的數據會被一次性讀取出來，而不是需要什么取什么。
即使只需要一個字節，磁盤也會從這個位置開始，順序向后讀取一定長度的數據放入內存。
這樣做的理論依據是計算機科學中著名的局部性原理：當一個數據被用到時，其附近的數據也通常會馬上被使用。?
預讀的長度一般為頁（Page）的整倍數。頁是計算機管理存儲器的邏輯塊，硬件及操作系統往往將主存和磁盤存儲區分割為連續的大小相等的塊，每個存儲塊稱為一頁（在許多操作系統中，頁的大小通常為 4K）。
B-Tree 和 B+Tree 該如何選擇呢？都有哪些優劣呢？
①B-Tree 因為非葉子結點也保存具體數據，所以在查找某個關鍵字的時候找到即可返回。
而 B+Tree 所有的數據都在葉子結點，每次查找都得到葉子結點。所以在同樣高度的 B-Tree 和 B+Tree 中，B-Tree 查找某個關鍵字的效率更高。?
②由于 B+Tree 所有的數據都在葉子結點，并且結點之間有指針連接，在找大于某個關鍵字或者小于某個關鍵字的數據的時候，B+Tree 只需要找到該關鍵字然后沿著鏈表遍歷就可以了，而 B-Tree 還需要遍歷該關鍵字結點的根結點去搜索。?
③由于 B-Tree 的每個結點（這里的結點可以理解為一個數據頁）都存儲主鍵+實際數據，而 B+Tree 非葉子結點只存儲關鍵字信息，而每個頁的大小是有限的，所以同一頁能存儲的 B-Tree 的數據會比 B+Tree 存儲的更少。
這樣同樣總量的數據，B-Tree 的深度會更大，增大查詢時的磁盤 I/O 次數，進而影響查詢效率。?
鑒于以上的比較，所以在常用的關系型數據庫中，都是選擇 B+Tree 的數據結構來存儲數據！
下面我們以 MySQL 的 InnoDB 存儲引擎為例講解，其他類似 SQL Server、Oracle 的原理！
在 InnoDB 存儲引擎中，也有頁的概念，默認每個頁的大小為 16K，也就是每次讀取數據時都是讀取 4*4K 的大小！
假設我們現在有一個用戶表，我們往里面寫數據：
這里需要注意的一點是，在某個頁內插入新行時，為了減少數據的移動，通常是插入到當前行的后面或者是已刪除行留下來的空間，所以在某一個頁內的數據并不是完全有序的（后面頁結構部分有細講）。
但是為了數據訪問順序性，在每個記錄中都有一個指向下一條記錄的指針，以此構成了一條單向有序鏈表，不過在這里為了方便演示我是按順序排列的！
由于數據還比較少，一個頁就能容下，所以只有一個根結點，主鍵和數據也都是保存在根結點（左邊的數字代表主鍵，右邊名字、性別代表具體的數據）。
假設我們寫入 10 條數據之后，Page1 滿了，再寫入新的數據會怎么存放呢？
我們繼續看下圖：
有個叫“秦壽生”的朋友來了，但是 Page1 已經放不下數據了，這時候就需要進行頁分裂，產生一個新的 Page。
在 InnoDB 中的流程是怎么樣的呢？
產生新的 Page2，然后將 Page1 的內容復制到 Page2。?
產生新的 Page3，“秦壽生”的數據放入 Page3。?
這里有兩個問題需要注意的是：
①為什么要復制 Page1 為 Page2 而不是創建一個新的頁作為根結點，這樣就少了一步復制的開銷了？
如果是重新創建根結點，那根結點存儲的物理地址可能經常會變，不利于查找。
并且在 InnoDB 中根結點是會預讀到內存中的，所以結點的物理地址固定會比較好！
②原來 Page1 有 10?條數據，在插入第 11 條數據的時候進行裂變，根據前面對 B-Tree、B+Tree 特性的了解，那這至少是一棵 11 階的樹，裂變之后每個結點的元素至少為 11/2=5 個。
那是不是應該頁裂變之后主鍵 1-5 的數據還是在原來的頁，主鍵 6-11 的數據會放到新的頁，根結點存放主鍵 6？?
如果是這樣的話，新的頁空間利用率只有 50%，并且會導致更為頻繁的頁分裂。
所以 InnoDB 對這一點做了優化，新的數據放入新創建的頁，不移動原有頁面的任何記錄。
隨著數據的不斷寫入，這棵樹也逐漸枝繁葉茂，如下圖：
每次新增數據，都是將一個頁寫滿，然后新創建一個頁繼續寫，這里其實是有個隱含條件的，那就是主鍵自增！
主鍵自增寫入時新插入的數據不會影響到原有頁，插入效率高！且頁的利用率高！
但是如果主鍵是無序的或者隨機的，那每次的插入可能會導致原有頁頻繁的分裂，影響插入效率！降低頁的利用率！這也是為什么在 InnoDB 中建議設置主鍵自增的原因！
這棵樹的非葉子結點上存的都是主鍵，那如果一個表沒有主鍵會怎么樣？在 InnoDB 中，如果一個表沒有主鍵，那默認會找建了唯一索引的列，如果也沒有，則會生成一個隱形的字段作為主鍵！
有數據插入那就有刪除，如果這個用戶表頻繁的插入和刪除，那會導致數據頁產生碎片，頁的空間利用率低，還會導致樹變的“虛高”，降低查詢效率！這可以通過索引重建來消除碎片提高查詢效率！
數據插入了怎么查找呢？
找到數據所在的頁。這個查找過程就跟前面說到的 B+Tree 的搜索過程是一樣的，從根結點開始查找一直到葉子結點。?
這跟我們在新華字典中找某個漢字是一樣的，先通過字典的索引定位到該漢字拼音所在的頁，然后到指定的頁找到具體的漢字。
InnoDB 中定位到頁后用了哪種策略快速查找某個主鍵呢？這我們就需要從頁結構開始了解。
左邊藍色區域稱為 Page Directory，這塊區域由多個 Slot 組成，是一個稀疏索引結構，即一個槽中可能屬于多個記錄，最少屬于 4 條記錄，最多屬于 8 條記錄。
槽內的數據是有序存放的，所以當我們尋找一條數據的時候可以先在槽中通過二分法查找到一個大致的位置。
右邊區域為數據區域，每一個數據頁中都包含多條行數據。注意看圖中最上面和最下面的兩條特殊的行記錄 Infimum 和 Supremum，這是兩個虛擬的行記錄。
在沒有其他用戶數據的時候 Infimum 的下一條記錄的指針指向 Supremum。
當有用戶數據的時候，Infimum 的下一條記錄的指針指向當前頁中最小的用戶記錄，當前頁中最大的用戶記錄的下一條記錄的指針指向 Supremum，至此整個頁內的所有行記錄形成一個單向鏈表。
行記錄被 Page Directory 邏輯的分成了多個塊，塊與塊之間是有序的，也就是說“4”這個槽指向的數據塊內最大的行記錄的主鍵都要比“8”這個槽指向的數據塊內最小的行記錄的主鍵要小。但是塊內部的行記錄不一定有序。
每個行記錄的都有一個 n_owned 的區域（圖中粉紅色區域），n_owned 標識這個塊有多少條數據。
偽記錄 Infimum 的 n_owned 值總是 1，記錄 Supremum 的 n_owned 的取值范圍為[1,8]，其他用戶記錄 n_owned 的取值范圍[4,8]。
并且只有每個塊中最大的那條記錄的 n_owned 才會有值，其他的用戶記錄的 n_owned 為 0。
所以當我們要找主鍵為 6 的記錄時，先通過二分法在稀疏索引中找到對應的槽，也就是 Page Directory 中“8”這個槽。
“8”這個槽指向的是該數據塊中最大的記錄，而數據是單向鏈表結構，所以無法逆向查找。
所以需要找到上一個槽即“4”這個槽，然后通過“4”這個槽中最大的用戶記錄的指針沿著鏈表順序查找到目標記錄。
前面關于數據存儲的都是演示的聚集索引的實現，如果上面的用戶表需要以“用戶名字”建立一個非聚集索引，是怎么實現的呢？
我們看下圖：
非聚集索引的存儲結構與前面是一樣的，不同的是在葉子結點的數據部分存的不再是具體的數據，而是數據的聚集索引的 Key。
所以通過非聚集索引查找的過程是先找到該索引 Key 對應的聚集索引的 Key，然后再拿聚集索引的 Key 到主鍵索引樹上查找對應的數據，這個過程稱為回表！
PS：圖中的這些名字均來源于網絡，希望沒有誤傷正在看這篇文章的你~^_^
上面包括存儲和搜索都是拿的 InnoDB 引擎為例，那 MyISAM 與 InnoDB 在存儲上有啥不同呢？憋縮話，看圖：
上圖為 MyISAM 主鍵索引的存儲結構，我們能看到的不同是：
主鍵索引樹的葉子結點的數據區域沒有存放實際的數據，存放的是數據記錄的地址。?
也就是說 InnoDB 引擎數據在物理上是按主鍵順序存放，而 MyISAM 引擎數據在物理上按插入的順序存放。
并且 MyISAM 的葉子結點不存放數據，所以非聚集索引的存儲結構與聚集索引類似，在使用非聚集索引查找數據的時候通過非聚集索引樹就能直接找到數據的地址了，不需要回表，這比 InnoDB 的搜索效率會更高呢！
大家經常會在很多的文章或書中能看到一些索引的使用建議，比如說：
like 的模糊查詢以 % 開頭，會導致索引失效。?
一個表建的索引盡量不要超過 5 個。?
盡量使用覆蓋索引。?
盡量不要在重復數據多的列上建索引。?
很多這里就不一一列舉了！那看完這篇文章，我們能否帶著疑問去分析一下為什么要有這些建議？
為什么 like 的模糊查詢以 % 開頭，會導致索引失效？為什么一個表建的索引盡量不要超過 5 個？
為什么？為什么？？為什么？？？相信看到這里的你再加上自己的一些思考應該有答案了吧？
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