《樹》之伸展樹

本文介紹什么？

1. 使用伸展樹有什么樣的效果；
   

2. 伸展樹的定義；

3. 伸展樹ADT具體實現過程的描述；

4. 代碼實現。

一、使用伸展樹(splay tree)的效果：

              使用伸展樹時，對伸展樹上任意一次操作的最壞運行時間為 O( N )；但是，它保證了連續M次操作花費的最多時間為O(M ㏒N)，從而可以推算出對伸展樹的每一次操作的攤還時間為O( ㏒N)。

二、伸展樹的定義:

        對于一顆二查查找樹進行操作時，每訪問一個節點，該節點都通過旋轉操作被放到根上。這樣的一顆二查查找樹稱為伸展樹。

三、伸展樹ADT的描述:

        1.伸展樹的節點定義與二查查找樹節點定義的方法一致，此處不再贅述；

        2.比起二查查找樹，伸展樹ADT只是對了一個旋轉操作。在這里的旋轉，我們稱之為展開(Splaying)。設節點X為訪問的節點，我們通過對節點X進行一系列操作，將節點X移動到根節點。

        3.節點X旋轉的情況:

             ⑴節點X為根節點：什么都不做；

             ⑵節點X的父節點為根節點:

                     根節點的左子樹=X的右子樹；

                     X的右子樹=根節點；

             ⑶節點X具有父節點（P）、祖父節點（G），此時有（兩類）四種情況需要考慮:

                     ⅰ、( "一" 字形) P是G的左兒子，X是P的左兒子;

                     ⅱ、( "一" 字形)P是G的右兒子，X是P的右兒子;

                     ⅲ、( "之" 字形)P是G的左兒子，X是P的右兒子;

                     ⅳ、( "之" 字形)P是G的右兒子，X是P的左兒子;

        4.節點的刪除:

              由于對節點X的每一次訪問都需要將X移向根節點，所以懶惰刪除在這里顯得不太合適，在這里需要進行的直接刪除。當進行刪除操作時，首先需要訪問節點X，節點X被移動到根節點，此時刪除X花費的代價是比較小的。在刪除節點X的時候，①訪問X導致節點X被移向根節點，刪除節點X并得到左、右兩棵子樹(TL、TR)；②在右子樹TR上訪問最小節點Y(該節點一定沒有左兒子)，將Y移動到右子樹的根節點；③令Y的左兒子為左子樹TL。

四、核心代碼實現：

    1.伸展樹的伸展實現

         ⅰ、( "一" 字形) P是G的左兒子，X是P的左兒子;

              操作:

                  G的左兒子=P的右兒子;

                  P的右兒子=G；

                  P的左兒子=X的右兒子；

                  X的右兒子=P；

//一字形（左左）

static Position ZigzigLL(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->left;x=p->left;
    
    g->left=p->right;
    p->right=g;
    p->left=x->right;
    x->right=p;
    
    return x;
}

ⅱ、( "一" 字形)P是G的右兒子，X是P的右兒子;

        操作:

            G的右兒子=P的左兒子；

            P的左兒子=G；

            P的右兒子=X的左兒子；

            X的左兒子=P； 

//一字形（右右）

static Position ZigzigRR(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->right;x=p->right;
    
    g->right=p->left;
    p->left=g;
    p->right=x->left;
    x->left=p;
    
    return x;
}

ⅲ、( "之" 字形)P是G的左兒子，X是P的右兒子;

        操作:

            G的左兒子=X的右兒子；

            X的右兒子=G;

            P的右兒子=X的左兒子；

            X的左兒子=P；

//一字形（左右）

static Position ZigzigLR(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->left;x=p->right;
    
    g->left=x->right;
    x->right=g;
    p->right=x->left;
    x->left=p;
    
    return x;
}

ⅳ、( "之" 字形)P是G的右兒子，X是P的左兒子;           

        操作:

            G的右兒子=X的左兒子；

            X的左兒子=G；

            P的左兒子=X的右兒子；

            X的右兒子=P；

//一字形（右左）

static Position ZigzigRL(Position g)
{
    Position p,x;
    p=g->right;x=p->left;
    
    g->right=x->left;
    x->left=g;
    p->left=x->right;
    x->right=p;
    
    return x;
}

    3.伸展樹的刪除操作實現

//刪除節點
void Delete(const ElementType x,const sTree st)
{
    if(NULL==st) printf("該樹為空樹\n");
    else{
        position temp=Find(x,st);
        Position root=FindMin(temp->right);
        root->left=temp->left;
        
        free(temp);
        temp=NULL;
        return ;
    }
}