化繁為簡——算法之魅力

什么是算法？

算法其實就是對一個問題或一類問題的解決過程的描述。大家對高斯不陌生吧？以首項加末項乘以項數除以2用來計算“1+2+3+4+5+···+（n-1）+n”的結果。我們把它叫做高斯算法，因為可以通過公式來解決復雜的問題，大大縮短了解題時間。當然算法的魅力還不止如此，我們接著往下看：

這兩段代碼都可以稱之為算法，因為分別可以解決兩個數相加和從1加到n的問題。算法并不一定要非常復雜，小到一行代碼，多到上萬行代碼，只要能解決特定問題，就是算法。

如何評估算法優劣

使用不同算法，解決同一個問題，效率可能相差非常大

現有兩個求斐波那契數 (fibonacci number) 的算法

（斐波那契數列：1 1 2 3 5 8 ……）
這里

public static int fib1(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

public static int fib2(int n) {
    if (n <= 1) return n;

    int first = 0;
    int second = 1;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int sum = first + second;
        first = second;
        second = sum;
    }
    return second;
}

這兩個算法哪個更優呢？

如果單從執行效率上進行評估，可能會想到這么一種方案

比較不同算法對同一組輸入的執行處理時間

這種方案也叫做：事后統計法

我們的做法是：

public static void main(String[] args) {
    int n = 45;//求第45個斐波那契數

    TimeTool.check("fib1", new Task() {
        public void execute() {
            System.out.println(fib1(n));
        }
    });//5.815秒

    TimeTool.check("fib2", new Task() {
        public void execute() {
            System.out.println(fib2(n));
        }
    });//0.0秒
}

上述方案有比較明顯的缺點

執行時間嚴重依賴硬件以及運行時各種不確定的環境因素

必須編寫相應的測算代碼

測試數據的選擇比較難保證公正性 （n=100時可能第一種算法時間更短，n=200時可能第二種算法時間更短）

一般從以下維度來評估算法的優劣

正確性、可讀性、健壯性（對不合理輸入的反應能力和處理能力）

時間復雜度（time complexity）：估算程序指令的執行次數（執行時間）

空間復雜度（space complexity）：估算所需占用的存儲空間

我們用這種方案評估一下計算1+2+...+n的算法

顯然第二種算法更好。難道是因為第二種方法代碼更短嗎？斐波那契數列的例子已經告訴我們并不是代碼越短越好。這個例子中第二個算法只需要三步運算就可以解決問題，而第一種需要循環n次。首先都滿足正確性、可讀性、健壯性的條件，然后從時間復雜度來講，假定一步運算的執行時間的一定的，我們考察一下大致需要執行多少次指令，就可以比較出兩種算法的時間長短；再從空間復雜度考慮，需要的變量越少、開辟的存儲空間越小，算法更好。

大O表示法

一般用大O表示法來描述復雜度，它表示的是數據規模 n 對應的復雜度

方法步驟：

（1）估算時間復雜度/空間復雜度(主要是時間復雜度)

（2.1）忽略常數、系數、低階

? $9$>> O(1)

? $2n+6$ >> O(n)

? $n^2+2n+6$ >> O($n^2$)

? $4n^3+3n^2+22n+100$ >> O($n^3$)

(2.2) 對數階一般省略底數

? $log_2n=log_29+log_9n$ (任意底數的對數可通過乘以一個常數相互轉化)

? 所以 $log_2n$、$log_9n$ 統稱為 $logn$

注意：大O表示法僅僅是一種粗略的分析模型，是一種估算，能幫助我們短時間內了解一個算法的執行效率

計算下面幾段代碼的時間復雜度

public static void test1(int n) {
    //1（進行一次判斷操作）
    if (n > 10) { 
        System.out.println("n > 10");
    } else if (n > 5) { // 2
        System.out.println("n > 5");
    } else {
        System.out.println("n <= 5"); 
    }
    // 1（定義一次i) + 4(i累加四次) + 4（判斷i<4四次) + 4（循環體一條語句執行四次）=9
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法時間復雜度O(1)
}

public static void test2(int n) {
    // 1(定義一次i）+ 3n（i累加n次+判斷i<n n次+循環體一條語句執行n次)=1+3n
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法時間復雜度O(n)
}

public static void test3(int n) {
    // 1(定義一次i） + 2n（i累加n次+判斷i<n n次) + n(外層循環體語句執行n次) * (1(定義一次j） + 3n（j累加n次+判斷j<n n次+內層循環體一條語句執行n次))=3n^2 + 3n + 1
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            System.out.println("test");
        }
    }
    // 大O表示法時間復雜度O(n^2)
}

public static void test4(int n) {
    // 8 = 2^3
    // 16 = 2^4

    // 3 = log2(8)
    // 4 = log2(16)

    // 執行次數 = log2(n)
    while ((n = n / 2) > 0) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法時間復雜度O(logn)
}

public static void test5(int n) {
    // log5(n)
    while ((n = n / 5) > 0) {
        System.out.println("test");
    }
    // 大O表示法時間復雜度O(logn)
}

public static void test7(int n) {
    // 1(定義一次i） + 2*log2(n)(i*2運算次數) + log2(n)（外層循環執行次數） * (1 + 3n)（內層循環執行次數）
    for (int i = 1; i < n; i = i * 2) {
        // 1 + 3n
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            System.out.println("test");
        }
    }
    // 1 + 3*log2(n) + 2 * nlog2(n)
    // 大O表示法時間復雜度O(nlogn)
}

$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)$

可以借助函數生成工具對比復雜度的大小

https://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php

總而言之，現今大數據時代，算法的使用和研發越來越受人矚目。算法也逐漸進入人們的生活。篇幅有限，在此不再過多講解算法的知識。我們下期再會。

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